欧拉函数

算法模板-欧拉函数

欧拉函数:给定一个正整数n,在小于等于n的数中,与n互质的数的个数。 关于欧拉函数,有以下几个规律:   1.当n为质数时,euler(n)=n-1.   2.当p与q互质时,euler(p*q)=euler(p)*euler(q).   3.当n等于p^k时,p为质数,euler(n)=p^k-p^(k-1). 对于任意的n,有n=p1^m1*p2^m2*p3^m3……*pk^mk; p1……pk为质数,所以p1^m1……pk^mk都互质 所以euler(n)=euler(p1^m1)*euler(p2^m2)……*euler(pk^mk) 由于规律3,euler(p^k)=(p-1)*p^...

欧拉函数模板

在数论中,对正整数n, 欧拉函数 是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名,它又称为 φ函数 (由高斯所命名)。 例如 ,因为1,3,5,7均和8互质。 欧拉函数实际上是模n的同余类所构成的乘法群(即环 的所有单位元组成的乘法群)的阶。这个性质与拉格朗日中值一起构成了欧拉定理的证明。 #include <iostream> #include <vector> #include <set> #include <map> #include <queue> #include<cstring> #include <stack> #include <algorithm>...

积性函数(求欧拉函数和莫比乌斯函数的值)

利用素数筛法求欧拉函数和莫比乌斯函数的值: 如果函数f满足gcd(a,b)=1时,有f(ab)=f(a)*f(b),则f叫作积性函数 如果取消互质的条件,则叫完全积性函数。 前置知识: 1.欧拉函数:φ(n)表示1~n中与n互质的数的个数   计算公式为:φ(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pk) 2.莫比乌斯函数:μ(n) 把n分解为:n=p1^k2*p2^k2*...*pr^kr(其中p均为质数) 有如下性质   1.当n=1时,μ(n)=1   2.当k1=k2=...=kr=1时,μ(n)=(-1)^r   3.其余情况μ(n)=0....

欧拉函数

# 定义 1)一个正整数n,小于n且和n互质的正整数(包括1)的个数,记作φ(n) 2)欧拉函数的计算通式:φ(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)(1-1/p3)*(1-1/p4)……(1-1/pn) 3)其中p1, p2……pn为n的所有质因数,n是不为0的整数。φ(1)=1(唯一和1互质的数就是1本身)。 4)容斥原理表达式展开化简得结果 # 积性函数 当a,b互质时,ƒ(a*b)=ƒ(a)*ƒ(b),就称函数ƒ为积性函数 # 欧拉函数的性质 1)任意的n>1,1~n中与n互质的数的和为 n * Φ(n) /2 2)若a,b互质,则Φ(a*b) = Φ(a) * Φ(b) 3...

P5091 【模板】欧拉定理

gate 什么是欧拉函数 费马小定理: 当 \(a,p\in \mathbb Z\) 且 \(p\) 为质数, \(a\not=0 \pmod p\) 时有: \(a^{p−1}\equiv1 \pmod p\) 所以 \(a^b \equiv a^{b\mod{p-1}} \pmod p\) 欧拉定理: 当 \(a,m\in \mathbb Z\) ,且 \(\gcd(a,m)=1\) 时有: \(a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod{m}\) ( \(\varphi(x)\) 是欧拉函数) 所以 \(a^b\equiv a^{b\bmod \varphi(m)}\pmod...

0x32.3 互质与欧拉函数

互质定义 对 \(\forall a, b \in \mathbb N\) ,若 \(\gcd(a, b)=1\) ,则称 \(a, b\) 互质。 注: \(\gcd(a, b, c)=1\) 称为 \(a, b, c\) 互质。注意与三个数两两互质区分。 欧拉函数的定义 \(1~n\) 中与 \(n\) 互质的数的个数称为欧拉函数,记为$ \varphi (N)$。 公式1:如果 \(p\) 是素数且 \(k \ge 1\) ,则 \[\varphi (p^k) = p^k - p^{k - 1}\] 公式2: 如果 \(\gcd(m, n)=1\) ,那么 \[ \varphi (mn)...

数论——欧拉函数

欧拉函数 φ(n)表示的是小于等于 n 和n 互质的数的个数,比如φ(1)=1。 很显然,当n为质数时φ(n)=n-1。 利用唯一分解定理,我们可以把一个整数唯一地分解为质数幂次的乘积, 欧拉函数的一些性质: 1.欧拉函数是积性函数。 积性是什么意思呢?如果有 gcd(a,b)=1 ,那么 φ(a*b)=φ(a)*φ(b) 。 特别地,当 n 是奇数时 φ(2n)=φ(n)*φ(2)=φ(n) 。 2.n=∑ d|n φ(d) 3.若n=pk,其中p为质数,那φ(n)=pk-p k-1 (根据定义可得) 如何求欧拉函数 int euler_phi(int n) { int m = int...

从线性筛到欧拉函数,你十有八九能懂吧!

这篇文章的动机:万一有什么长进呢?(先痴想一下吧) 本文难度:普及-→提高+ \(Part\;1\) .线性筛 不止能筛质数,所有的积性函数都可以 \(O(n)\) 筛出。 \(ps\) :积性函数只对于 \(\forall x,y\in P\) (这里 \(P\) 是质数的集合), \(f(ab)=f(a)f(b)\) 的数论函数。 当然不排除你喜爱埃氏筛,但洛谷 \(1e8\) 照样会卡你。 但不能略过: 埃氏筛,全称是啥显然忘了(用不到吧 \(qwq\) ?),核心思想是利用已有的质数,与当前的数相乘,得到的一定是合数。 下面是线性筛质数: judge[1]=true; for(int...

互质与欧拉函数

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[51nod 1136] 欧拉函数

对正整数n,欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名,它又称为Euler's totient function、φ函数、欧拉商数等。例如:φ(8) = 4(Phi(8) = 4),因为1,3,5,7均和8互质。 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; int n; int phi(int n) { int ret=1, i; for(i=2; i*i<=n; i++) { if(n%i == 0) { n /= i; ret *= i-1; while(n%i == 0) { n /= i; ret *=...